최대공약수 구하는법과 최소공배수 활용 예시

안녕하세요. 수학에서 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)는 중요한 개념 중 하나입니다. 특히, 초등학교부터 배우기 시작하지만, 막상 응용할 때는 헷갈릴 수 있습니다. 오늘은 최대공약수 구하는법과 최소공배수가 실생활에서 어떻게 활용되는지 자세히 알아보겠습니다.

 

최대공약수 구하는법과 최소공배수 활용 예시

 

 

 

목차

 

 

 

최대공약수 구하는법

최대공약수란?

최대공약수(Greatest Common Divisor, GCD)는 두 개 이상의 수의 공통된 약수 중 가장 큰 값을 의미합니다. 예를 들어, 12와 18의 공약수는 1, 2, 3, 6이며, 그중 가장 큰 수는 6이므로 12와 18의 최대공약수는 6입니다.

 

최대공약수를 구하는 방법

최대공약수를 구하는 방법에는 여러 가지가 있지만, 대표적으로 소인수분해 방법과 유클리드 호제법이 있습니다.

 

1. 소인수분해를 이용한 방법

각 수를 소인수분해한 후, 공통된 소인수 중 가장 작은 지수를 가진 값을 곱하면 최대공약수가 됩니다.

예제: 12와 18의 최대공약수 구하기

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²
• 공통된 인수: 2¹ × 3¹ = 6

즉, 12와 18의 최대공약수는 6입니다.

 

2. 유클리드 호제법을 이용한 방법

유클리드 호제법은 두 수를 나누면서 나머지를 이용하여 반복적으로 최대공약수를 찾는 방법입니다.

예제: 119와 91의 최대공약수 구하기

1. 119 ÷ 91 = 1 (나머지 28)
2. 91 ÷ 28 = 3 (나머지 7)
3. 28 ÷ 7 = 4 (나머지 0)

나머지가 0이 되면 마지막 나누는 수가 최대공약수입니다. 따라서, 119와 91의 최대공약수는 7입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

최대공약수 구하는법과 최소공배수 활용 예시

 

최소공배수 활용 예시

최소공배수란?

최소공배수(Least Common Multiple, LCM)는 두 개 이상의 수의 공통된 배수 중 가장 작은 값을 의미합니다. 예를 들어, 4와 6의 배수 중 공통된 값은 12, 24, 36 등이 있으며, 이 중 가장 작은 값은 12이므로 4와 6의 최소공배수는 12입니다.

 

최소공배수의 활용

최소공배수는 실생활에서 다양한 방식으로 활용됩니다. 몇 가지 사례를 살펴보겠습니다.

1. 주기적인 이벤트의 동시 발생 시점 계산

예를 들어, 18분마다 오는 버스와 30분마다 오는 버스가 처음 출발한 후 다시 동시에 도착하는 시점을 알고 싶다면 최소공배수를 활용하면 됩니다.

• 18과 30의 최소공배수는 90이므로, 두 버스는 90분마다 동시에 도착합니다.

 

2. 정사각형 타일로 직사각형 채우기

가로 200cm, 세로 80cm인 벽을 가능한 한 큰 정사각형 타일로 채우고 싶다면, 한 변의 길이는 200과 80의 최대공약수인 40cm가 됩니다. 즉, 40cm × 40cm 크기의 타일로 벽을 채울 수 있습니다.

 

3. 주기적인 작업의 동기화

두 개의 기계가 각각 12시간과 15시간마다 점검이 필요하다면, 동시에 점검할 수 있는 주기는 최소공배수인 60시간마다입니다. 따라서, 두 기계는 60시간마다 동시에 점검하면 됩니다.

 

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이상으로 최대공약수 구하는법부터 개념까지 알아보았습니다.

 

최대공약수와 최소공배수는 단순한 수학 개념이지만, 실생활에서도 유용하게 활용할 수 있는 개념입니다. 특히, 일정 주기로 반복되는 현상을 분석하거나 공간을 효과적으로 활용할 때 최소공배수를 이용하면 효율적인 해결책을 찾을 수 있습니다.