등차수열의 합 공식, 공식 유도부터 문제 풀이까지

안녕하세요. 등차수열 합 공식은 수학에서 자주 접하는 공식인데, 처음엔 이해하기 어려울 수 있어요. 저도 학창 시절 이 공식을 외우기만 했었는데, 나중에 유도 과정을 알게 되니 훨씬 쉽게 느껴졌습니다. 이번 글에서는 "등차수열의 합 공식"에 대해 정리해보겠습니다. 등차수열 합 공식을 쉽게 이해하고 싶은 여러분께 도움이 되길 바랍니다!

 

등차수열 합 공식, 공식 유도부터 문제 풀이까지

 

 

 

목차

• 1. 등차수열 합 공식이란?
• 2. 등차수열 합 공식 쉽게 이해하기
• 3. 등차수열 합 공식 유도 과정
• 4. 등차수열 합 공식 예제 풀이 1
• 5. 등차수열 합 공식 예제 풀이 2
• 6. 등차수열 합 공식 활용 팁
  • 추천글

 

 

 

1. 등차수열 합 공식이란?

등차수열의 합 공식은 등차수열의 모든 항을 더한 값을 구하는 공식이에요. 등차수열은 각 항이 일정한 차이(공차)로 늘어나거나 줄어드는 수열을 말합니다.

예를 들어, $2,5,8,11$은 공차가 3인 등차수열이죠.

기본 공식은 두 가지로 표현됩니다.

 

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$

 

$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$

 

저는 처음 이 공식을 봤을 때 복잡해 보였는데, 쉽게 이해할 방법을 찾아봤어요.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 등차수열 합 공식 쉽게 이해하기

등차수열 합 공식은 두 가지 형태로 이해할 수 있어요.

첫 번째 공식은 첫 항($a_1$)과 마지막 항($a_n$)을 더한 뒤, 이를 항의 개수($n$)로 나누고 다시 $n$을 곱하는 방식입니다.

 

$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$

 

이 공식은 이렇게 생각하면 쉬워요.

항을 순서대로 더한 값과 역순으로 더한 값을 합치면 각 쌍이 $a_1+a_n$으로 같아져요.

예를 들어, $1,3,5$를 더하면 순서대로 $1+3+5=9$이고, 역순으로 $5+3+1=9$입니다.

두 식을 더하면 $2S_3=3(1+5)=18$, 그러니 $S_3=9$가 됩니다.

저는 이 쌍 개념을 알게 되니 공식이 정말 직관적이더라고요.

 

두 번째 공식은 공차($d$)를 이용한 방식이에요.

 

$S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$

 

이 공식은 첫 항과 공차만 알면 쉽게 계산할 수 있어요.

 

 

 

 

 

3. 등차수열 합 공식 유도 과정

공식 유도를 간단히 알아볼게요.

등차수열 $S_n=a_1+(a_1+d)+\cdots +a_n$을 역순으로 쓰면 $S_n=a_n+(a_n-d)+\cdots +a_1$이에요.

두 식을 더하면 각 쌍이 $a_1+a_n$으로 같아져서 $2S_n=n(a_1+a_n)$이 됩니다.

그래서 $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$이 나와요.

 

공차 공식은 $a_n=a_1+(n-1)d$를 대입해 $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$로 유도됩니다.

저는 이 과정을 보면서 공식이 얼마나 똑똑한지 느꼈어요.

 

 

 

 

 

등차수열 합 공식, 공식 유도부터 문제 풀이까지

 

4. 등차수열 합 공식 예제 풀이 1

예제로 공식을 익혀봅시다.

문제: "1부터 5까지의 합은?"

공차 1인 등차수열이에요.

$a_1=1$, $a_5=5$, $n=5$니까 $S_5=\frac{5}{2}(1+5)=15$입니다.

공차로 풀면 $S_5=\frac{5}{2}[2\cdot 1+(5-1)\cdot 1]=15$예요.

저는 이 간단한 합을 풀며 공식이 빠르게 답을 준다는 점이 좋았어요.

 

 

 

 

 

5. 등차수열 합 공식 예제 풀이 2

조금 더 풀어볼게요.

문제: "3, 6, 9의 합은?"

$a_1=3$, $a_3=9$, $n=3$, 공차 $d=3$이에요.

$S_3=\frac{3}{2}(3+9)=18$입니다.

공차 공식으로는 $S_3=\frac{3}{2}[2\cdot 3+(3-1)\cdot 3]=18$이에요.

저는 두 공식을 써보며 정확성을 확인했어요.

 

 

 

 

 

 

 

 

6. 등차수열 합 공식 활용 팁

등차수열 합 공식을 쉽게 쓰려면 몇 가지 팁이 있어요.

첫 항, 공차, 항 개수를 빠르게 파악하는 게 중요합니다.

문제에서 마지막 항이 없으면 $a_n=a_1+(n-1)d$로 구하세요.

두 공식을 번갈아 써보며 검산하면 실수를 줄일 수 있어요.

저는 예제를 풀며 익숙해지니 계산이 훨씬 쉬워졌어요.

 

---

 

이상으로 등차수열ㅇ 합 공식을 공식 유도부터 문제 풀이까지 정리해봤습니다. 저는 이 공식을 풀며 수학이 더 쉬워지는 느낌을 받았어요. 여러분도 등차수열 합 공식을 간단히 이해하고, 문제 풀이로 실력을 키워보시길 바랍니다. 궁금한 점 있으면 댓글로 남겨주세요!

추천글

이차방정식과 근의공식 쉽게 이해하기